Treillis et bases des groupes de Coxeter

A Dominique Foata, pionnier de la combinatoirè a qui elle doit tant 1. Introduction. — Le présent travail est une contributionà l'´ etude de l'ordre fort (dit aussi de Bruhat) dans un groupe de Coxeter fini W. Les définitions et propriétés relatives aux treillis, aux ensembles or-donnés, aux bases et aux treillis enveloppants, &c. sont rassemblées de manì ere minimale dans la section 2, les preuves et quelques exemplesétant présentés en annexe, ´ egalement de façon minimale. La base B d'un ensemble ordonné fini (X, ≤) est le plus petit sous-ensemble tel que la comparaison de deuxéléments pour l'ordre ≤ soit donné par l'ordre d'inclusion des projections (dans 2 B) de ceséléments sur la base. La section 3 décrit les rapports entre les ordres faibles et fort sur les groupes de Coxeter, en les reliantà diverses algèbres de Hecke dégénérées. La base (pour l'ordre fort) est contenue dans l'ensemble de ce que nous appelons les bigrassmanniennes (´ eléments w ∈ W tels qu'il existe une seule paire de générateurs σ, σ tels que (σµ) < <(µ), (µσ) < <(µ)).